Zoek
English
  Studiegidsen 2008-2009
Radboud UniversiteitStudiegidsenFaculteit der Natuurwetenschappen, Wiskunde en Informatica > Bachelor Wiskunde

Inleiding partiële differentiaalvergelijkingen 

Vakcode
WB046B
Studiepunten
6
Periode
tweede semester
Werkvormen
  • 32 uur hoorcollege
  • 32 uur werkcollege
Beschrijving

Een partiële differentiaalvergelijking beschrijft de relatie tussen de partiële afgeleiden van een gezochte functie en de gegeven data. Dergelijke vergelijkingen verschijnen in alle gebieden van de exacte wetenschappen. Meer recentelijk is het modelleren met behulp van partiële differentiaalvergelijkingen van problemen uit de biologie, farmacie, beeldbewerking en economie sterk toegenomen.Omdat de oorsprong van dergelijke modellen zeer divers is, en de resultaten bij voorkeur praktijkgericht dienen te zijn, heeft de analyse van pdv vele facetten. De klassieke aanpak is gericht op het vinden van expliciete oplossingen. Sinds er numerieke methoden en snelle computers beschikbaar zijn, is men meer georienteerd op functionaalanalytische methoden die existentie en eenduidigheid van de oplossing garanderen. Als men ook nog kan laten zien dat de resultaten continu afhangen van de gegeven data, dan weet men dat men met een numerieke methode de gezochte oplossing inderdaad zou kunnen benaderen. Deze cursus geeft een inleiding tot het gebied. Elementaire klassieke resultaten zullen voorgesteld worden en ook zullen enkele moderne aspecten aan de orde komen.

Onderwerpen
  • Inleiding: enkele eenvoudige modellen worden voorgesteld en naar type ingedeeld.
  • Eerste orde vergelijkingen: karakteristieken, behoudswetten en schokgolven.
  • Lineaire tweede orde vergelijkingen, enkele klassieken: de warmte vergelijking, de Laplace vergelijking en de golfvergelijking.
  • De golfvergelijking voor een ruimte variabele: het Cauchy probleem de oplossing van d’Alembert.
  • Scheiding van variabelen. Voor speciale gebieden en speciale problemen kan de pdv gesplits worden in een set van gewone differentiaalvergelijkingen.
  • Sturm-Liouville problemen zijn parameter-afhankelijk randwaardeproblemen voor gewone differentiaalvergelijkingen.
  • Elliptische vergelijkingen. Het maximum principe en eenduidigheid.
  • Oplossingen via een integraalformule. In speciale gevallen geven Green functies een bijna expliciete oplossing.
  • Vergelijkingen in hogere dimensies: de klassificatie in parabolisch, elliptisch en hyperbolische vergelijkingen. Enkele expliciete oplossingen.
  • Variationele methoden. Introductie van een ijzersterke aanpak: de zwakke formulering.
  • Enkele numerieke methoden: een eerste kennismaking met eindige differenties en eindige elementen.
Tentaminering
 Written exam
Literatuur

Deze cursus is gebaseerd op het boek ‘An Introduction to Partial Differential Equations’ van Pinchover and Rubinstein dat is verschenen bij Cambridge University Press.